martes, 28 de agosto de 2012

Lógica Proposicional


Proposición
Es un enunciado que se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplos:
La luna es cuadrada.
7 es un número primo.

Lógica proposicional
Cada proposición es representada por una letra, normalmente con p,q,r, …
Tambien hay conectores lógicos:
y (˄), o (˅), no (¬), implicación (→)

Estos conectores estan definidos a través de una tabla de verdad.

Negación
Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se representa por:  ~p
Ejemplo:
P: Hoy es martes.
~ P: Hoy no es martes.

Como sinónimos de no, se usan diferentes frases como por ejemplo:
No es cierto que …
No es el caso que …
Es falso que …
No sucede que …

Tambien se representar la negación de una proposición cualquiera “p” en forma “compacta”, utilizando una tabla. A esta tabla se le llama “tabla de verdad de la negación”:

p
~p
V
F
F
V

Conjunción
La conjunción de dos proposiciones se forma con la letra “y”.
Hoy es día de fiesta y amaneció lloviendo.
Me llamo sergio y soy ingeniero.

Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q” y se denota por: p ˄ q.

p
q
p ˄ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

Se toman como “sinónimos” de la conjunción: además, pero, sin embargo, aunque, también, aun, a la vez, no obstante.

Ejemplos:
Luis estudia, además de trabajar.
Paco estudio pero no aprobó.
Diego jugo futbol aunque estaba lesionado.

No toda proposición con “y” es una conjunción.
Ejemplo:
Melissa y Nelly son hermanas.

Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relación entre los sujetos.

Disyunción
La disyunción de dos proposiciones se forma insertando la palabra “o” entre ellas.

Ejemplos:
Hoy es día de fiesta o amaneció lloviendo.
Me llamo Maria o soy pscologa.
Si p y q son proposiciones se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta “p o q” y se denota por:  p ˅ q

p
q
˅ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por: p → q
Conviene pensar en una “promesa” … Si no llueve (entonces) iremos  al futbol
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V

El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple.

Aplicaciones:


Circuitos Eléctricos



La aplicación de la lógica proposicional a los circuitos eléctricos es posible en virtud del isomorfismo existente entre ambos. Llamamos isomorfismo a la relación de igualdad estructural que existe entre dos objetos.  El matemático e ingeniero norteamericano Claudio Shannon – uno de los diseñadores de las modernas computadoras – descubrió, en 1936, el isomorfismo (igualdad de formas básicas) existentes entre la lógica de proposiciones y la teoría de los circuitos eléctricos. Gracias a este descubrimiento se ha desarrollado una teoría sistemática de los circuitos eléctricos y ésta ha hecho posible resolver cualquier problema concerniente a la construcción y funcionamiento de estos circuitos básicos de las computadoras electrónicas. Para hacer el isomorfismo es necesario considerar sólo 3 funciones lógicas: la conjunción, la disyunción y la negación. Como a través de esas 3 funciones básicas se puede definir las demás funciones lógicas, entonces el isomorfismo es total.

Problemas de búsqueda



Diversas son las aplicaciones directas de lógica proposicional.
A continuación veremos como un problema de búsqueda (típico de aplicaciones de Inteligencia Artificial) se puede modelar usando lógica proposicional.
El problema de las 8 reinas consiste en colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez, de tal manera que no haya un par que se ataque mutuamente.
Este problema se puede generalizar a n reinas.
Modelaremos el problema para 8 reinas.
Sea pij una variable proposicional que es verdadera si existe una reina en la
posición (i, j) del tablero.


Bibliografía:

jueves, 23 de agosto de 2012

Encriptación por método XOR

Dentro de los tantos algortimos de encriptacion que existen esta el XOR , en realidad este no es tanto un algoritmo sino una sustitución , este metodo se podria decir que es de sustitucion polialfabetica, porque se intercambian una a una las letras del texto plano con las letras de la clave aplicándoles la operacion XOR.

Bueno y a todo esto podemos preguntar que es la operacion XOR tanto mencionada; esta es una operacion que se realiza a nivel binario , XOR viene de la palabra en ingles: “Exclusive OR” .
En espaniol tambien se le llama : ExOR , (or exclusiva).

Estas operaciones son operaciones binarias a niveles de bits si se quiere profundizar mas en el tema se puede consultar en la wikipedia por las compuertas binarias.

Explicando el metodo del XOR

El método se realiza de la siguiente forma:
Como se hace a nivel de bits se cuenta con la siguiente tabla:



Tenemos una palabra que queremos cifrar :

BACK

Tenemos una clave alfanumerica:

DOOR
Para poder comparar estas dos palabras se tienen que convertir a su equivalente en Ascii binario para realizar las operaciones:

B=0100001
A=1000001
C=1100001
K=1101001

D=0010001
O=1111001
O=1111001
R=0100101

Una vez que se realiza el cambio se efectua la operacion XOR:

0100001 1000001 1100001 1101001
0010001 1111001 1111001 0100101
————– ————– ————– —————
0110000 0111000 0011000 1001100
————– ————– ————– ————–
45 56 24 76

Se hace el primer caracter del texto plano con el primer caracter de la clave , el segundo del texto plano con el segundo caracter de la clave y asi sucesivamente si se acaba los caracteres de la clave se empieza de nuevo con el primero.

Lo que hice en el ejemplo de arriba fue hacer la operacion XOR en binario y el resultado volverlo nuevamente a decimal.
El resultado de nuestro texto cifrado seria:

- 8 (CAN) L

La palabra CAN es el simbolo de cancel entonces lo mas seguro les saldra (si lo implementan en una computadora) un cuadrado pequeño.

Código del programa para cifrar y decifrar aplicando la operación XOR:



Captura del programa en ejecución:


Variable Compleja


Una función de variable compleja es aquella f : A ⊆ C → C, definida sobre un subconjunto de los números complejos A y cuya imagen está contenida a su vez en dicho cuerpo. Para todo z ∈ A se cumple entonces que f(z) = Re f(z) + iImf(z), por lo que se definen las partes real e imaginaria (o funciones coordenadas) de f cómo Re f,Imf : A ⊆ C → R.

Aquí les muestro un ejemplo sencillo que resolvi:


Ahora otro más complejo:
El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) ²/(z4 + 1) , con lo que tendremos :



y las raíces del denominador son :


1 + z4 = 0 ⇒ 1 + s² = 0 ⇒ s = ±i ⇒ z = ± √i ; z = ± √- i ;

En general, para obtener las raíces de za , con a = l/n , tenemos :




y esto nos da en nuestro caso :


√i = ei(π/4) ; - √i = ei(3π/4) ; √- i = ei(5π/4) ; - √- i = ei(7π/4)

Por lo que, considerando que los polos son todos simples, tendremos para los residuos :



El último paso se explica como sigue (por ejemplo, para zk = √i = ei(π/4) ) :



Sustituyendo cada zk en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos :




que es el resultado buscado. 




martes, 21 de agosto de 2012

Tautologías

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: 
 


Conjunción
  
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:



Disyunción  
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:



Implicación o Condicional
     
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:



Aquí la expresión que realice:


 


Aquí simplifique la siguiente expresión que equivale lo mismo.




Aquí dividí la expresión en un diagrama de árbol.




martes, 14 de agosto de 2012

Reporte 1

Toyota Prius, problema con frenos




Toyota tubo problemas en su sistema de frenado.
El detalle que marca la diferencia entre tener un Prius con o sin problemas, se debe a la diferencia en el software que controla el sistema ABS de los frenos, por lo que se estudio la posibilidad de llamarlos a todos a una revisión para actualizar los carros comprometidos. La nota de prensa expedida por los nipones asegura que a lo menos se ha contemplado la revisión de 270.000 modelos Prius en Estados Unidos y Japón, sin embargo las medidas para el resto de los países que tienen este problema no se especifico.
Cabe recalcar que la falla se tuvo en cuenta gracias a las reclamaciones de los usuarios respecto del componente en cuestión, por lo que tanto los gobiernos de Estados Unidos como el de Japón iniciaron la reclamación a Toyota y finalmente se consiguió una declaración oficial de la compañía que permite saber se harán las gestiones pertinentes para actualizar el software afectado, aunque lo que se lamenta es que no se haya llamado a reparación anterior, ni tampoco de respuesta de lo que ocurre con los modelos afectados en el resto del mundo, donde Sudamérica es un lugar importante.


El defecto fue que Prius utilizaba dos sistemas de freno para detenerse (regenerativo y convencional), el software encargado de controlar su activación debia de estar cuidadosamente calibrado para evitar problemas de sincronización, como los que pueden suceder cuando se activaba el ABS al circular sobre firmes deslizantes o irregulares. El resultado sería una pérdida momentánea de potencia de frenada. En su momento la única solución consiste en mantener presionado el pedal de freno.

Reporte

La idea de proyecto es identificar personas por medio de un lector de huella digital para tener acceso a diferentes áreas de algun banco o algun otro lugar.






Un lector de huella digital:
1) Obtener una imagen de la huella digital.
2) Comparar el patrón de valles y crestas de dicha imagen con los patrones de las huellas que tiene almacenadas.


Herramientas a utilizar: