Una función de variable compleja es aquella f : A ⊆ C → C, definida sobre un subconjunto de los números complejos A y cuya imagen está contenida a su vez en dicho cuerpo. Para todo z ∈ A se cumple entonces que f(z) = Re f(z) + iImf(z), por lo que se definen las partes real e imaginaria (o funciones coordenadas) de f cómo Re f,Imf : A ⊆ C → R.
Aquí les muestro un ejemplo sencillo que resolvi:
Ahora otro más complejo:
El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) ²/(z4 + 1) , con lo que tendremos :
y las raíces del denominador son :
1 + z4 = 0 ⇒ 1 + s² = 0 ⇒ s = ±i ⇒ z = ± √i ; z = ± √- i ;
En general, para obtener las raíces de za , con a = l/n , tenemos :
y esto nos da en nuestro caso :
√i = ei(π/4) ; - √i = ei(3π/4) ; √- i = ei(5π/4) ; - √- i = ei(7π/4)
Por lo que, considerando que los polos son todos simples, tendremos para los residuos :
El último paso se explica como sigue (por ejemplo, para zk = √i = ei(π/4) ) :
Sustituyendo cada zk en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos :
que es el resultado buscado.
1 comentario:
Quizá ocupas un editor de ecuaciones para que salgan más bonitas. No estoy segura si la explicación está al nivel con lo que ocupa la gente para entender todo esto bien. Te pongo 12 puntos.
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