Reporte Grupal

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Reporte from Sergio Hernandez


 

Código:

	\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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	\title{Carrito Seguidor de línea: Reporte grupal}
	\author{Daniel - Sergio - Roberto}
	\begin{document}
	\tikzstyle{block} = [draw, fill=blue!20, rectangle,
	minimum height=3em, minimum width=6em]
	\tikzstyle{sum} = [draw, fill=blue!20, circle, node distance=1cm]
	\tikzstyle{input} = [coordinate]
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	\maketitle
	\tableofcontents
	\section{Introduccion}
	Se pretende controlar un carrito que sigue una línea de determinado color.\newline
	Dentro de la investigación realizada se encontró que el carrito es controlado en si por dos partes, una es un sensor infrarrojo autoreflex que es quien envía una señal a una segunda parte que es el motor quien interpreta esa señal en movimiento.\newline
	En el sistema que implementare existe la relación de un sensor autoreflex donde el resultado del sensor es un voltaje aplicado que va directo al motor, siendo esta la entrada del sistema y resultando como salida la velocidad angular de motor.\newline
	\subsection{Sensores}
	\newline
	El sensor infrarrojo de reflexión que se va a utilizar es clasificado como Autoreflex o “reflexión sobre objeto” ya que en este mismo posee un emisor y un receptor, el emisor es un LED infrarrojo que emite señal de luz (invisible al ojo humano), después el mismo recoge el rayo reflejado de luz gracias al receptor que tiene y tiene una salida lógica dependiendo de la cantidad de luz mandada. Esto nos servirá para determinar la cantidad de luz reflejada es una línea negra o blanca dependiendo del fondo.\newline
	Las aplicaciones de este tipo de dispositivos es muy grande y es usada tanto en la industria así como en la ciencia y la investigación, ya sea en el transporte de carga, exploración de terrenos, desactivadores de explosivos etc.\newline
	\subsection{Algoritmo de seguimiento}
	\newline
	El carrito tendrá varios estados dependiendo de la acción en la que se encuentre.\newline
	El estado A: Es donde los sensores se encuentran fuera de la trayectoria. Aquí ambos motores se detiene y el móvil debe ser colocado a su trayectoria de forma manual.\newline
	Esto porque primeramente lo haremos de forma muy sencilla y no le pondremos capacidad de retomar la trayectoria.\newline
	Estado B: Es cuando el móvil se desvía levemente hacia el lado izquierdo sobre la línea trazada. Aquí lo que se hace es que el sensor derecho se desactiva o se apaga y que el motor izquierdo corrija la trayectoria. \newline
	Estado C : Aquí vendría siendo lo contrario de el estado B , es cuando el carro se desvía levemente hacia el lado derecho de la línea trazada , y aquí la acción correctiva seria apagar el motor izquierdo para que el motor derecho corrija la trayectoria.\newline
	Estado D : Aquí es cuando ambos sensores se encuentran sobre la línea marcada y entonces el carrito no debe de realizar ninguna acción correctiva , entonces ambos motores se deberán mantener activos, primeramente debemos lograrlo en una línea recta , ya que obviamente si se encuentra en una línea recta el carrito no deberá de presentar ninguna desviación, hasta que se encuentre con alguna línea curva.\newline
	\section{Función de Transferencia}
	La función de transferencia que caracteriza al sistema está dada por la transformada de la función de la salida que es la velocidad angular, entre la transformada de la función de entrada del sistema, que es el voltaje aplicado al motor.
	\\
	\newline
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\pounds [fout(t)]}{\pounds [fin(t)]}
	\end{array}
	\end{center}
	\subsection{Entrada}
	La entrada del sistema está determinada por el voltaje que va a alimentar a cada uno de los motores (en este caso 2) haciendo que estos se muevan.
	\subsection{Salida}
	Para determinar la salida es necesario conocer la función en la cual está implicada la velocidad angular en la que cada uno de los motores se va a mover.
	\newline
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	G(s)=\frac{\Theta (s)}{U(s)}
	\end{array}
	\end{center}
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	G(s)=\frac{\Theta (s)}{U(s)} = \frac{k_{2}}{[JLs^{2}+(Jr+BL)s+(BR+k_{1}k_{2}))]s}
	\end{array}
	\end{center}
	\\
	\subsection{Variables}
	u (t) es la entrada que inducimos al motor. (Voltaje V)\\
	0 (t) es el ángulo de giro del motor, salida del sistema. (Rad 0)\\
	eb (t) es la tensión en bornas del motor. Se mide en V.\\
	i (t) es la corriente que circula por el motor. Se mide en A\\
	R es la resistencia del motor. Se mide en Ohms\\
	L es la inductancia del motor. Se mide en H\\
	J es la inercia del motor. Se mide en kg·m2\\
	B es el coeficiente de rozamiento. Se mide en N·m·rad/s.\\
	T es el par del motor. Se mide en N·m\\
	TL es el par de la carga. Se mide en N·m.\\
	k1 es la constante de FEM. Se mide en V·s/rad\\
	k2 es la constante de par. Se mide en N·m/A\\
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	\frac{k_{2}}{JLs^{3}+(JR+BL))s^{2}+(BR+k_{1}k_{2})s+k_{2}}
	\end{array}
	\end{center}
	\\
	\newline
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	\frac{0.03218}{3.251x10^{-9}s^{3}+2.151x10^{-5}s^{2}+0.001085s+0.03218}
	\end{array}
	\end{center}
	\\
	\newline
	R = 4,91 Ohms\\
	L = 742,2 uH = 742,2·10-6 H\\
	J = 43,8 g·cm^2 = 43,8 · 10-7 kg· m2\\
	B = 10-5 N·m·rad/s\\
	k1 = 32,18· 10-3 V·s/rad\\
	k2 = 32,18 mN·m/A = 32,18· 10-3 N·m/A\\
	\\
	\\
	\subsection{Diagrama de bloques}
	Nuestro diagrama de bloques es la representación del motor en lazo cerrado.\\
	% Aqui colocamos los nodos
	\begin{tikzpicture}[auto, node distance=4cm,>=latex']
	% Aqui colocamos los bloques
	\node [input, name=input] {};
	\node [sum, right of=input] (sum) {};
	\node [block, right of=sum] (system) {$G()s$};
	\draw [->] (sum) -- node[name=u] {} (system);
	\node [output, right of=system] (output) {};
	\coordinate [below of=u] (tmp);
	% Aqui se colocan las lineas
	\draw [draw,->] (input) -- node {$r(t)$} (sum);
	\draw [->] (sum) -- node {$e(t)=u(t)$} (system);
	\draw [->] (system) -- node [name=y] {}(output) node[pos=1.2] {$y(t)$};
	\draw [->] (y) |- (tmp) -| node[pos=0.99] {}
	node [near end] {} (sum);
	\end{tikzpicture}
	\\
	Donde G(s) es la función de transferencia del motor expresada anteriormente. Observado el diagrama podemos obtener algunas relaciones en el tiempo y el dominio.\\
	\newline
	e(t)=u(t)=r(t)-y(t)\\
	y(t)=g(t)*u(t)\\
	y(t)=f(t)*r(t)\\
	\\
	\\
	\begin{figure}[h]
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{diagrama_circuit.eps}
	\caption{Diagrama de circuito}
	\end{center}
	\end{figure}
	\\
	\newline
	-Tenemos una entrada dada por u(t) que representa el voltaje que se le va a dar al motor de nuestro carrito.\newline
	-Del lado derecho esta 0(s) que representa a la velocidad del giro del motor, es decir, que tan rápido se mueve y gira nuestro carrito.\newline
	-Después que entra al motor la corriente sigue un flujo dado por i(t) que es en el sentido que viaja esta corriente.\newline
	-La corriente pasa por una resistencia R y una inductancia L antes de llegar a donde nosotros deseamos que llegue.\newline
	-Una característica del motor es la tensión en bornas del motor y está dada por eb(t) , finalmente llega a donde queremos la salida para implementar velocidad al motor. \newline
	\section{Ecuación para la Representación en el Espacio de Estados}
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{0}s^{n}+b_{1}s^{n-1}+...+b_{n-1}s+b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_{n}}
	\end{array}
	\end{center}
	\subsection{Forma Canónica Controlable}
	Un sistema es controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). Por lo tanto el concepto de controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario.\newline
	En forma intuitiva, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de control no restringida. Así, si cualquiera de las variables de estado es independiente de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y, por lo tanto, el sistema es no controlable.
	\\
	\newline
	Considerado el sistema definido por:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x}\\
	\dot{x}\\
	.\\
	.\\
	\dot{x}_{n-1}\\
	{x}_{n}\\
	\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
	0 & 1& 0&... &0 \\
	0 & 0& 1 & ... &0 \\
	... &... &... &... &... \\
	0 & 0 & 0 &0 &0 \\
	-a_{n} &-a_{n-1} &-a_{n-2} & ... &-a_{1}
	\end{bmatrix} =
	\begin{bmatrix}
	x1\\
	x2\\
	.\\
	.\\
	.\\
	x_{n-1}\\
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	0\\
	0\\
	0\\
	0\\
	1
	\end{bmatrix}u
	\end{array}
	\\
	\\
	\newline
	Donde "u" es la entrada y "y" es la salida, esto se representa por:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	y=\begin{bmatrix}
	0 & 0 & ... &0 &1
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x_{1}\\
	x_{2}\\
	.\\
	.\\
	x_{n-1}\\
	x_{n}
	\end{bmatrix}+
	b_{0}u
	\end{array}
	\newline
	\\
	\\
	En base a nuestra función de transferencia obtenemos las variables:
	\\
	\newline
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	a_{1}=2.151x10^{-5},a_{2}=0.01085,a_{3}=0.03215\\
	b_{0}=0,b_{1}=0.03218
	\end{array}
	\\
	\newline
	Y con esto obtenemos la matriz de la forma canónica controlable:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x}_{1}(t)\\
	\dot{x}_{2}(t)
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	0 & 1 &0 \\
	-2.151x10^{-5} &-0.01085 & -0.03215
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
	{x}_{1}(t)\\
	{x}_{2}(t)
	\end{bmatrix}+
	\begin{bmatrix}
	0\\
	1
	\end{bmatrix}u(t)
	\end{array}
	\\
	\\
	\begin{center}
	\begin{array}{rcl}
	y(t)=\begin{bmatrix}
	0.03218
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x_{1}(t)\\
	x_{2}(t)
	\end{bmatrix}
	\end{array}
	\end{center}
	\subsection{Forma Canónica Observable}
	El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida.
	\\
	\newline
	Siguiendo la siguiente representación en espacio de estado.
	\\
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x}_{1}\\
	\dot{x}_{2}\\
	.\\
	.\\
	\dot{x}_{n}
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	0 & 0 & ... &0 &-a_{n} \\
	1 & 0 &... &0 &-a_{n-1} \\
	. & . &. &. & .\\
	. & . &. &. & .\\
	0&0 &... &1 &-a_{1}
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
	{x}_{1}\\
	{x}_{2}\\
	.\\
	.\\
	\dot{x}_{n}
	\end{bmatrix}+
	\begin{bmatrix}
	b_{n}-a_{n}b_{0}\\
	b_{n-1}-a_{n-1}b_{0}\\
	.\\
	.\\
	b_{1}-a_{1}
	\end{bmatrix}u
	\\
	\\
	\\
	y=\begin{bmatrix}
	0 & 0 & ... &0&1
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x1\\
	x2\\
	.\\
	xn
	\end{bmatrix}+b_{0}u
	\end{array}
	\\
	\newline
	En base a nuestra función de transferencia obtenemos:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	a_{1}=2.151x10^{-5},a_{2}=0.01085,a_{3}=0.03215\\
	b_{0}=0,b_{1}=0.03218
	\end{array}
	\\
	\\
	\newline
	Y con esto obtenemos la matriz de la forma canónica observable, la transpuesta de la controlable:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x}1(t)\\
	\dot{x}2(t)
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	0 &-0.03215 \\
	1& -0.01085\\
	0&-2.151x10^{-5}
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x1(t)\\
	x2(t)
	\end{bmatrix}
	+\begin{bmatrix}
	0.03218
	\end{bmatrix}u
	\end{array}
	\\
	\\
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	y(t)=\begin{bmatrix}
	0 &1
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x1(t)\\
	x2(t)
	\end{bmatrix}
	\end{array}
	\subsection{Forma Canónica Diagonal}
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{0}s^{n}+b_{1}s^{n-1}+...+b_{n-1}}{(s+p_{1})(s+p_{1})...(s+p_{n})}
	\end{array}
	\\
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\frac{Y(s)}{U(s)}=b_{0}+\frac{c_{1}}{s+p_{1}}+\frac{c_{2}}{s+p_{2}}+...+\frac{c_{n}}{s+p_{n}}
	\end{array}
	\\
	\newline
	La forma canónica diagonal está dada por:\newline
	\begin{figure}[h]
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{roots.eps}
	\\
	\newline
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{residue.eps}
	\caption{Función Roots y Función Residue}
	\end{center}
	\end{figure}
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x1}\\
	\dot{x1}\\
	.\\
	.\\
	\dot{xn}
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	-p_{1} & & & & &0 \\
	& -p_{2}& & & & \\
	& & . & & & \\
	& & &. & & \\
	& & & &. & \\
	0 & & & & & -p_{n}
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
	x1\\
	x2\\
	.\\
	.\\
	.\\
	xn
	\end{bmatrix}+
	\begin{bmatrix}
	1\\
	1\\
	.\\
	.\\
	.\\
	1
	\end{bmatrix}u
	\end{array}
	\\
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	y=\begin{bmatrix}
	c1 & c2 & ... &cn
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
	x1\\
	x2\\
	.\\
	.\\
	.\\
	xn
	\end{bmatrix}+
	b_{0}u
	\end{array}
	\\
	\newline
	En base a nuestra función de transferencia obtenemos:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	p_{1}=-6567.174+0i, p_{2}=-25.288+29.459i,p_{3}=-25.288-29.459i
	\\
	c_{1}=0.23130+0i,c_{2}=-0.11565-25.68198i,c_{3}=-0.111565+25.68198i
	\end{array}
	\newline
	Y con esto obtenemos la matriz de la forma canónica diagonal:
	\newline
	\begin{array}{rcl}
	\begin{bmatrix}
	\dot{x}1(t)\\
	\dot{x}2(t)
	\end{bmatrix}=
	\begin{bmatrix}
	-6567.174+0i &. &0 \\
	& -25.288+29.459i & \\
	0& & -25.288-29.459i
	\end{bmatrix}
	\begin{bmatrix}
	{x}1(t)\\
	{x}2(t)
	\end{bmatrix}
	+\begin{bmatrix}
	1\\
	1
	\end{bmatrix}u
	\end{array}
	\\
	\begin{array}{rcl}
	y=\begin{bmatrix}
	0.23130+0i, & -0.11565-25.68198i, & -0.111565+25.68198i
	\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
	x1(t)\\
	x2(t)
	\end{bmatrix}
	\end{array}
	\addcontentsline{toc}{section}{Bibliografía}
	\begin{thebibliography}{99}
	\bibitem{Libro} Libro de control y automatización.
	\bibitem{pag1} http://www.robolabo.etsit.upm.es/asignaturas/sctr/apuntes/trabajo3.pdf
	\bibitem{pag2} http://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/tperez/SC1/Transparencias%20(Noviembre-2000).pdf
	\bibitem{pag3} http://xa.yimg.com/kq/groups/13389281/446673213/name/DC.
	\end{thebibliography}
	\end{document}

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Código Octave

	% DEFINIMOS VARIABLES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
	R = 4.91; % Ohm --> R = resistencia en motor
	L = 742.2; % uH --> L = inductancia en motor
	J = 43.8; % g*cm^2 --> J = inercia del MOTOR
	B = 10^(-5); % N*m*rad/s --> B = fricción mecánica
	k1 = 32.18; % mV*s/rad --> k1 = constante de FEM
	k2 = 32.18; % mN*m/A --> k2 = constante de par
	R = R; %Ohm --> R
	L = L * 10^(-6); %H --> L
	J = J * 10^(-7); % kg*m^2 --> J
	B = B; % N*m*rad/s --> B
	k1 = k1 * 10^(-3); % V*s/rad --> k1
	k2 = k2 * 10^(-3); % N*m/A --> k2
	%-----------------------------------------------------------
	% FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL MOTOR
	num2 = k2;
	den2 = [J*L (J*R + B*L) (B*R + k1*k2) k2];
	F = tf (num2,den2);
	%--------------------------------------------------------
	%FUNCIONES PARA LA DIAGONAL
	roots(den2)
	[r, p, k, e] = residue(num2, den2)
	%--------------------------------------------------------

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